题目内容
已知抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|BA|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点M、N，P为线段MN的中点．求|AM|+|AN|的值．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：计算题,作图题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意作图，则A（a，0），从而得到圆的方程，与抛物线y2=4ax（a＞0）联立可得x1+x2=-（2a-8）=8-2a，再由抛物线的定义求值．
解答：
解：如右图，A（a，0）；
则圆的方程为（x-a-4）2+y2=16，
与抛物线y2=4ax（a＞0）联立可得，
（x-a-4）2+4ax=16，
化简得，x2+（2a-8）x+a2+8a=0；
故x1+x2=-（2a-8）=8-2a；
故|AM|+|AN|=x1+a+x2+a
=8．
解：如右图，A（a，0）；则圆的方程为（x-a-4）2+y2=16，
与抛物线y2=4ax（a＞0）联立可得，
（x-a-4）2+4ax=16，
化简得，x2+（2a-8）x+a2+8a=0；
故x1+x2=-（2a-8）=8-2a；
故|AM|+|AN|=x1+a+x2+a
=8．
点评：本题考查了学生的作图能力及圆锥曲线的定义的应用，属于中档题．
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