Question

10．（1）已知函数f（x）=2x+2sinx+cosx在点（α，f（α））处的切线的斜率为2，求$\frac{sin（π-α）+cos（-α）}{{2cos（\frac{π}{2}-α）+cos（2π-α）}}$的值
（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a=1，且$acosC+\frac{1}{2}c=b$，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，由导数的几何意义，求得tanα=2，由诱导公式即可求得答案；
（2）由正弦定理代入$acosC+\frac{1}{2}c=b$，整理求得A，由正弦定理得：表示出△ABC的周长l，利用正弦函数的图象及性质即可求得△ABC的周长l的取值范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=2+2cosx-sinx，f′（α）=2，
即tanα=2，
∴$\frac{sin（π-α）+cos（-α）}{{2cos（\frac{π}{2}-α）+cos（2π-α）}}=\frac{sinα+cosα}{2sinα+cosα}=\frac{tanα+1}{2tanα+1}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{sin（π-α）+cos（-α）}{{2cos（\frac{π}{2}-α）+cos（2π-α）}}$的值$\frac{3}{5}$；…（5分）
（2）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由$acosC+\frac{1}{2}c=b$，则sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
∴$sinAcosC+\frac{1}{2}sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC$，
∴$\frac{1}{2}sinC=cosAsinC$，
∵C∈（0，π），∴sinC≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，又0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$…（8分）
由正弦定理得：$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinB$，
$c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinC$∴$l=a+b+c=1+\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinB+sinC）$，
=$1+\frac{2}{{\sqrt{3}}}[sinB+sin（A+B）]$，
=$1+2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB$$+\frac{1}{2}cosB）$，
=$1+2sin（B+\frac{π}{6}）$…（10分）
∵$A=\frac{π}{3}$，
∴$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$B+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）∈（\frac{1}{2}，1]$  …（11分）
∴△ABC的周长l的取值范围（2，3]…（12分）

点评 本题考查诱导公式，正弦定理，正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．