Question

12．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＞0，且g（-1）=0，则不等式f（x）g（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-1，0）∪（0，1）
• B． （-∞，1）∪（1，+∞）
• C． （-1，0）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 构造函数h（x）=f（x）•g（x），根据导数和函数单调性之间的关系，判断函数h（x）的单调性，结合函数的奇偶性的性质即可得到结论．

解答 解：设h（x）=f（x）•g（x），
∵x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，
即[f（x）g（x）]′＞0
故h（x）在x＜0时递增，
∵f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴h（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，
∴h（x）的图象关于原点对称，
即h（x）在x＞0时也是增函数．
∵g（-1）=0，∴g（1）=0，
∴h（-1）=0且h（1）=0，则函数h（x）对应的草图为：
则h（x）＞0的解集为：x＞1或-1＜x＜0．
故不等式的解集为{x|x＞1或-1＜x＜0}，
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，根据导数的正负可以确定函数的单调性，利用数形结合的思想进行解题．属于中档题．