Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面PCD，可得MN∥平面PCD；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PBD．

解答： 证明：（Ⅰ）取AD中点E，连接ME，NE，则ME∥PD，NE∥CD，
∵ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PCD，
∵MN?平面MNE，
∴MN∥平面PCD；
（Ⅱ）∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．

点评：本题在四棱锥P-ABCD中证明线面平行、面面垂直．着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．