Question

给出下列四个命题中：
①命题：?x∈R，sinx+cosx=

3

； 
②?x∈（-∞，0），2^x＜3^x
③?x∈R，e^x≥x+1
④对?（x，y）∈{（x，y）|4x+3y-10=0}，则x²+y²≥4．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据正弦型函数的图象和性质，及存在性命题真假判断的方法可判断①；根据指数函数的图象和性质，及不等式的基本性质，可判断②；构造函数f（x）=e^x-（x+1），利用导数法判断函数的最值，可判断③；根据点到直线的距离，两点之间的距离，可判断④

解答： 解：对于①，∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，

3

＞

2

，故①错；
对于②，当x∈（-∞，0），(

2

3

)x＞1，故2^x＞3^x，故②错；
对于③，设f（x）=e^x-（x+1），f'（x）=e^x-1，可知f（x）在（-∞，0）减，在（0，+∞）递增，f（x）_min=f（0）=0； 故③正确；
对于④，x²+y²为原点到4x+3y-10=0上动点的距离的平方，由原点到直线4x+3y-10=0的距离为2，故x²+y²≥4，故④正确．
故答案为：③④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦型函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，不等式的基本性质，导数法判断函数的最值，点到直线的距离，两点之间的距离，难度中档．