Question

5．已知集合A={x|（x-a）[x-（a²+1）]＞0}，B={y|y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x+$\frac{5}{2}$，0≤x≤3}．
（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；
（2）当a取使得不等式x²+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁_RA）∩B．

Answer 1

分析 A={x|x＜a或x＞a²+1}，B={y|2≤y≤4}．
（1）当A∩B=∅时，a²+1≥4且a≤2，即可求a的取值范围；
（2）当a取使得不等式x²+1≥ax恒成立，△=a²-4≤0，可得a的最小值，从而求（∁_RA）∩B．

解答 解：A={x|x＜a或x＞a²+1}，B={y|2≤y≤4}．
（1）当A∩B=∅时，a²+1≥4且a≤2，
∴$\sqrt{3}$≤a≤2或a≤-$\sqrt{3}$．
（2）由x²+1≥ax，得x²-ax+1≥0，
依题意△=a²-4≤0，
∴-2≤a≤2．
∴a的最小值为-2．
当a=-2时，A={y|y＜-2或y＞5}
∴∁_RA={y|-2≤y≤5}．
∴（∁_RA）∩B={y|2≤y≤4}．

点评 本题考查集合的运算，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．