Question

8．如图，已知四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=1，AD=2BC=$\sqrt{2}$，若△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形，且PA⊥CD．
（1）证明：PC⊥平面PAD；
（2）求直线AB与平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）证明PA⊥PC，通过计算求解证明PC⊥PD，然后证明PC⊥平面PAD．
（2）建系 求出相关点的坐标，求出平面PBC的法向量，设直线AB与平面PBC所成的角是θ利用空间向量的数量积求解直线AB与平面PBC所成的角即可．

解答 （1）证明：由已知得：PA⊥PD，PA⊥CD，所以PA⊥平面PCD，即PA⊥PC
在直角梯形ABCD中，AB=1，$AD=2BC=\sqrt{2}$$AC=CD=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，由△PAD是以AD为底边的等腰直角三角形得：AP=PD=1
由PC²+AP²=AC²，得$PC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可算得：PC²+PD²=CD²
所以：PC⊥PD，即PC⊥平面PAD．
（2）如图建系，可得：

A（1，0，0），$C（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，D（0，0，1），P（0，0，0）$\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}（1，0，-1）$$\overrightarrow{PC}=（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=（-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）+\frac{1}{2}（1，0，-1）=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{1}{2}）$，
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}（x-z）=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{PC}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}y=0\end{array}\right.$，令x=1得：$\overrightarrow n=（1，0，1）$，
设直线AB与平面PBC所成的角是θ，∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{AB}＞|=|\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{AB}|}}|=|\frac{-1}{{\sqrt{2}}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
所以直线AB与平面PBC所成的角是$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．