Question

19．已知实数x，y，z满足$\left\{\begin{array}{l}xy+2z=1\\{x^2}+{y^2}+{z^2}=5\end{array}\right.$则xyz的最小值为$9\sqrt{11}-32$．

Answer 1

分析 由xy+2z=1，可得z=$\frac{1-xy}{2}$=$\frac{1-t}{2}$．可得5=x²+y²+$（\frac{1-xy}{2}）^{2}$，≥±2xy+$\frac{（1-xy）^{2}}{4}$，化为：x²y²+6xy-19≤0，或：x²y²-10xy-19≤0．解出经过比较利于二次函数的单调性可得．

解答 解：由xy+2z=1，可得z=$\frac{1-xy}{2}$=$\frac{1-t}{2}$．
∴5=x²+y²+$（\frac{1-xy}{2}）^{2}$≥2|xy|+$\frac{（1-xy）^{2}}{4}$，化为：x²y²+6xy-19≤0，或：x²y²-10xy-19≤0．
由x²y²+6xy-19≤0，解得：0≤xy≤-3+2$\sqrt{7}$．
由x²y²-10xy-19≤0，解得：5$-2\sqrt{11}$≤xy≤0．
∴xyz=xy×$\frac{1-xy}{2}$=$-\frac{1}{2}$$（xy-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{8}$，
可得：经过比较利于二次函数的单调性可得：xy=5$-2\sqrt{11}$时，xyz取得最小值为$9\sqrt{11}-32$．
故答案为：$9\sqrt{11}-32$．

点评 本题考查了不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．