Question

已知f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，且f（x）+g（x）=e^x，则“a+b＞0”是“f（a）+g（b）＞0”的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，可得f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）．利用f（x）+g（x）=e^x，可得f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e^-x．解出f(x)=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

．再利用指数函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）．
∵f（x）+g（x）=e^x，
∴f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=e^-x．
∴f(x)=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

．
∵a+b＞0，∴b＞-a，∴e^b＞e^-a，
而e^a＞0，e^-b＞0．
∴f（a）+g（b）=

ea-e-a

2

+

eb+e-b

2

=

ea+e-b+eb-e-a

2

＞0，
反之也成立．
∴“a+b＞0”是“f（a）+g（b）＞0”的充要条件．
故选：C．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．