题目内容

已知椭圆
x2
a12
+
y2
b12
=1（a1＞b1＞0）与双曲线
x2
a22
+
y2
b22
=1（a2＞0，b2＞0）有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个交点
（1）试用b1、b2表示△F1PF2的面积；
（2）当b1+b2=m（m＞0）是常数时，求△F1PF2的面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设∠F1PF2=θ，当PF1+PF2=2a1时，S△F1PF2=b12•
sinθ
1+cosθ
，当PF1-PF2=2a2时，S△F1PF2 =
b22sinθ
1-cosθ
，由此能求出S△F1PF2=b1b2．
（2）当b1+b2=m时，有m=b1+b2≥2
b1b2
，由此能求出面积的最大值是
m2
4
．
解答： 解：（1）设∠F1PF2=θ，当PF1+PF2=2a1时，
F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ，
即2PF1•PF2cosθ=（PF1+PF2）2-2PF1•PF2-4c2=4a12-2PF1•PF2-4c2，
∴PF1•PF2=
2b12
1+cosθ
，
∴S△F1PF2=
1
2
×PF1•PF2sinθ=b12•
sinθ
1+cosθ
，
当PF1-PF2=2a2时，
F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cosθ，
即2PF1•PF2cosθ=（PF1-PF2）2+2PF1•PF2-4c2=4a22+2PF1•PF2-4c2，
∴PF1•PF2=
2b22
1-cosθ
，
∴S△F1PF2 =
1
2
×PF1•PF2sinθ=
b22sinθ
1-cosθ
，
（S△F1PF2）2=
b12sinθ
1+cosθ
×
b22sinθ
1-cosθ
=b12•b22，
∴S△F1PF2=b1b2．
（2）当b1+b2=m时，有m=b1+b2≥2
b1b2
，
即有b1b2≤
m2
4
，△F1PF的面积S△F1PF2 ≤
m2
4
．
即面积的最大值是
m2
4
．
点评：本题考查三角形面积的表示和面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意双曲线和椭圆的简单性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，若数列{Sn}也为等差数列，则S2014=（　　）
A、1007B、2014
C、4028D、0
在一个正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1的中心，求证AP⊥PB1．
对于集合Ω={θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：μ=
cos2(θ1-θ0)+cos2(θ2-θ0)+…+cos2(θn-θ0)
n
为集合Ω相对θ0的“余弦方差”．
（1）若集合Ω={
π
3
，
π
4
}，θ0=0，求集合Ω相对θ0的“余弦方差”；
（2）若集合Ω={
π
3
，
2π
3
，π}，证明集合Ω相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
（3）若集合Ω={
π
4
，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．
y=
x+3
2x+3
的对称中心是什么？画出其图象．
双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，且过点A（
5
，
3
），双曲线C2中心在原点，焦点在y轴上，且过点B（
10
，
7
）．C1的实轴长等于C2虚轴长，C1的虚轴长等于C2实轴长，求双曲线C1、C2的方程．
双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点，已知|
OA
|、|
AB
|、|
OB
|成等差数列，且
BF
与
FA
反向．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线AB被双曲线截得的弦长为
8
3
，求双曲线方程．
若直线l：y=x与圆心在第二象限的⊙C相切于原点，且⊙C的半径为2
2
．
（1）求⊙C的方程；
（2）试问⊙C上是否存在异于原点的点Q，使得点Q到点F（4，0）的距离为4，若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知
a
=（2sinx，2cosx），
b
=（
3
cosx，cosx），函数f（x）=
a
•
b
+m在区间[0，
π
2
]上的最大值为2．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
3
3
4
，求边长a．

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