Question

已知函数f(x)=x-

1

x

-alnx
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x²+y²-2y=0相切，求a的值；
（2）当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在坐标轴x轴的上方，试求出a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义求得函数的曲线的切线斜率，写出切线方程，由切线与圆相切求得a；
（2）由f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，由题意得，只需当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立．
设g（x）=x²-ax+1，利用导数判断函数g（x）的单调性，进而得出结论．

解答： 解：（1）∵函数f(x)=x-

1

x

-alnx，
∴f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

，∴f′（1）=2-a，又f（1）=0，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的切线方程为y-0=（2-a）（x-1），
即（2-a）x-y+a-2=0，
又圆x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1，故圆心（0，1），半径为1，
∴由函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与圆x²+y²-2y=0相切得，

|-1+a-2|

(2-a)2+(-1)2

=1，即（a-3）²=（2-a）²+1，解得a=2．
（2）∵函数f(x)=x-

1

x

-alnx，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），
又f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
∴由题意得，只需当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0恒成立．
设g（x）=x²-ax+1，则△=a²-4，
∴当-2≤a≤2时，△＜0，当x＞0时，g（x）≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0，
当a＜-2时，函数g（x）的对称轴为x=

a

2

＜-1，则g（x）在[1，+∞）上是增函数；
当x≥1时，g（x）≥g（1）=2-a＞0，
即f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[1，+∞）上是增函数；
∴x＞1时，f（x）＞f（1）=0，
当a＞2时，函数g（x）的对称轴为x=

a

2

＞1，g（x）在[1，

a

2

]是减函数，g（x）＜g（1）=2-a＜0，
故f′（x）＜0，∴f（x）在[1，

a

2

]上是减函数；
∴当1＜a＜

a

2

时，f（x）＜f（1）=0与当x＞1时，f（x）＞0矛盾，
综上所述，a的取值范围是（-∞，-2]．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的切线方程与判断函数的单调性、求最值等知识，考查等价转化思想、分类讨论思想的运用能力，综合性强，属难题．