Question

已知函数f（x）=sinωx•cosωx+

3

cos²ωx-

3

2

（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

4

．
（Ⅰ）求f（x）在x∈[-π，0]的单调增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得f（x）=sin（2ωx+

π

3

），依题意，可求得函数y=f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=

π

2

，解得ω=2，从而可求得f（x）在x∈[-π，0]的单调增区间；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=sin（2x-

π

6

），利用正弦函数的单调性可求得关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有解时，实数k的取值范围．

解答： 解：f（x）=sinωx•cosωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

•

1+cos2ωx

2

-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

3

）…2分
（Ⅰ）∵直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

4

．
∴函数y=f（x）的最小正周期T=

2π

2ω

=

π

2

，∴ω=2…4分
∴f（x）=sin（4x+

π

3

）…5分
令2kπ-

π

2

≤4x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得

kπ

2

-

5π

24

≤x≤

kπ

2

+

π

24

（k∈Z），
∵x∈[-π，0]，故该函数的单调增区间是[-π，-

23

24

π]，[-

17

24

π，-

11

24

π]，[-

5π

24

，0]，
…8分；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位后得函数解析式为y=sin[4（x-

π

8

）+

π

3

]=sin（4x-

π

6

），
…9分
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（2x-

π

6

）的图象，
…10分
∵x∈[0，

π

2

]，
∴g（x）=-k∈[-

1

2

，1]，
∴k∈[-1，

1

2

]…12分

点评：本题考查三角恒等变换与函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，突出考查正弦函数的单调性、对称性、周期性及最值的综合应用，属于难题．