Question

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A．若以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）

• A、x2-

  y2

  3

  =1
• B、x2-

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  4

  -

  y2

  12

  =1
• D、

  x2

  12

  -

  y2

  4

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的右顶点和右焦点以及渐近线方程，可得A，再由圆的性质可得|AF|=|OF|=c=2，解方程可得a，b，进而得到双曲线方程．

解答： 解：双曲线的右顶点为（a，0），右焦点F为（c，0），
由x=a和一条渐近线y=

b

a

x，可得A（a，b），
以C的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A、O两点（O为坐标原点），
则|AF|=|OF|=c=2，
即有

(a-c)2+b2

=2，
c²=a²+b²=4，
解得a=1，b=

3

，
即有双曲线的方程为x²-

y2

3

=1，
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用和圆的性质，考查运算能力，属于基础题．