Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B+3cosB-1=0，且a²+c²=ac+b+2
（Ⅰ）求边b的边长；
（Ⅱ）求△ABC周长的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）由二倍角的余弦公式，可得B，再由余弦定理，可得b=2；
（Ⅱ）解法1：运用正弦定理以及两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最大值．
解法2：运用基本不等式，计算即可得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos2B+3cosB-1=0
∴2cos²B+3cosB-2=0，
解得cosB=

1

2

或cosB=-2（舍去）   
又B∈（0，π）则B=

π

3

，
由余弦定理得b²=a²+c²-ac，
又a²+c²=ac+b+2∴b²-b-2=0
解得b=2；
（Ⅱ）解法1：由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

2

sin π 3

=

4 3

3

，
则a+b+c=

4 3

3

(sinA+sinc)+2=

4 3

3

[sinA+sin(

2

3

π-A)]+2=

4 3

3

(

3

2

sinA+

3

2

cosA)+2=4sin(A+

π

6

)+2
∴当A=

π

3

时，周长a+b+c取得最大值6．
解法2：由a²+c²=ac+b+2=ac+4得
(a+c)2=3ac+4≤3×(

a+c

2

)2+4（当且仅当a=c时取“=”），
则a+c≤4
∴当a=c=2时周长a+b+c取得最大值6．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理以及三角函数的化简和求值，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．