Question

（本题满分12分）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点．

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；

（Ⅲ）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，则从而可得和的坐标,根据两向量垂直数量积为0可得关于的方程,即点的轨迹方程．（Ⅱ）设,由可得,代入（Ⅰ）中所得点的轨迹方程可得点的轨迹方程．可知点的轨迹是以为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点．由椭圆中关系式可得的值．（Ⅲ）设直线方程与椭圆方程联立,消去可得关于的一元二次方程．由韦达定理可得两根之和,两根之积．从而可求得三角形面积,再用配方法求其最值．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设点的坐标为，则

又由AC⊥BD有，即，

∴． （4分）

（Ⅱ）设，则，代入M的轨迹方程有

即，∴的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）．

要到的距离之和为定值，则以为焦点，故．

∴ 从而所求P的轨迹方程为． 9分

（Ⅲ）易知的斜率存在，设方程为 联立，有

设，则

令，则且

，

所以当，即也即时，面积取最大值，最大值为． 12分 www.ks5u.com

考点：1轨迹问题;2椭圆的定义,简单几何性质;3直线与椭圆的位置关系．