Question

 中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2,两准线间的距离为10.设点A(5,0),过点A作直线l交椭圆C于P,Q两点,过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 求证:直线SQ过x轴上一定点B;

(3) 若过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D,求过B,D两点、且以AD为切线的圆的方程.

Answer 1

 (1) 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),

依题意得得所以b2=4.

所以椭圆的标准方程为+=1.

(2) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),AP=tAQ,

则

结合得

设B(x,0),则=t,x==1,

所以直线SQ过x轴上一定点B(1,0).

(3) 设过点A的直线方程为y=k(x-5),代入椭圆方程+=1得(4+5k2)x2-50k2x+125k2-20=0.

依题意,得Δ=0,即(50k2)2-4(4+5k2)(125k2-20)=0,

解得k=±,且方程的根为x=1.

所以D.

当点D位于x轴上方时,过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E,直线DE的方程是

y-=(x-1),所以E.

所求的圆即为以线段DE为直径的圆,方程为

+=;

同理可得当点D位于x轴下方时,圆的方程为

+=.