Question

等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，S_n=

1-bn

2

（n∈N₊），记c_n=a_n•b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）求证：c_n+1≤c_n．
（3）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根求得a₃=5，a₅=9，然后求出等差数列的公差，代入等差数列的通项公式得答案．再由S_n=

1-bn

2

取n=1求得b₁，当n≥2时，由b_n=S_n-S_n-1推得数列是等比数列，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=a_n•b_n，利用作差法证明c_n+1≤c_n；
（3）直接利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （1）解：∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，
∴a₃=5，a₅=9，公差d=

a5-a3

5-3

=2，
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
又当n=1时，有b₁=S₁=

1-b1

2

，
∴b₁=

1

3

．
当n≥2时，有b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（b_n-1-b_n），
∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2），
∴数列{b_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴b_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

；
（2）证明：由（1）知c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，c_n+1=

2n+1

3n+1

，
∴c_n+1-c_n=

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

=

4(1-n)

3n+1

≤0，
∴c_n+1≤c_n；
（3）解：∵c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
则T_n=

1

31

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，①

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，②
①-②得：

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

．
∴Tn=1-

n+1

3n

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了作差法证明数列不等式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．