Question

已知函数f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集
（4）求当x∈[1，5）时函数的值域．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：（1）代入x=4，即可得到m；
（2）将f（x）写成分段函数的形式，画出函数的图象，注意自变量的范围；
（3）由图象观察x轴上方的自变量的范围，即可得到；
（4）观察x∈[1，5）时的图象，即可得到值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0，
则f（4）=4|m-4|=0，即m=4．
（2）函数f（x）=x|x-4|=

x2-4x，x≥4 4x-x2，x＜4

，
图象如图所示．
（3）由图象可得不等式f（x）＞0的解集为：（0，4）∪（4，+∞）．
（4）当x∈[1，5）时，f（1）=3，f（5）=5，f（4）=0，
则f（x）的值域为[0，5）．

点评：本题考查绝对值函数的图象和性质，考查数形结合的思想方法，考查通过图象解不等式和求函数的值域，属于中档题．