题目内容
经过抛物线y2=2px（p＞0）外的一点A（-2，-4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线分别交于M1，M2，如果|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，求p的值．
考点：抛物线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：直线l的方程：y=x-2，代入y2=2px，因为|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，所以它们在X轴的投影也成等比数列，即可求出p的值．
解答：
解：直线l的方程：y=x-2，代入y2=2px，
可得x2-2（p+2）x+4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2（p+2），x1x2=4，
因为|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，
所以它们在X轴的投影也成等比数列，
所以：（x1-x2）2=|x1-（-2）|•|x2-（-2）|=|x1x2+2（x1+x2）+4|，
所以（x1+x2）2-4x1x2=|x1x2+2（x1+x2）+4|，
所以p（p+4）=|p+4|
而p＞0，
所以p=1．
可得x2-2（p+2）x+4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2（p+2），x1x2=4，
因为|AM1|，|M1M2|，|AM2|成等比数列，
所以它们在X轴的投影也成等比数列，
所以：（x1-x2）2=|x1-（-2）|•|x2-（-2）|=|x1x2+2（x1+x2）+4|，
所以（x1+x2）2-4x1x2=|x1x2+2（x1+x2）+4|，
所以p（p+4）=|p+4|
而p＞0，
所以p=1．
点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查等比数列的性质，属于中档题．
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