Question

已知{a_n}为等比数列，S_n为其前n项和，且a_n+1=2S_n+1（n≥1）；等差数列{b_n}满足b₄=a₂，且9b₂+a₃=0，{b_n}的前n项和为T_n．
（1）分别求a_n及T_n；
（2）是否存在k∈N^*，使得T_k+a_k∈（10，20），请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a_n+1=2S_n+1⇒a_n=2S_n-1+1（n≥2），两式相减，可求得

an+1

an

=3（n≥2），利用{a_n}为等比数列，可求得a₁=1，从而可得其通项公式；同理可求得等差数列{b_n}的通项公式及前n项和为T_n．
（2）T_k+a_k=k²-4k+3^k-1=（k-2）²+3^k-1-4，对k分k≥2与k=1两类讨论，分析运算后可得答案．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得：a_n+1-a_n=2a_n，
∴

an+1

an

=3（n≥2），
又{a_n}为等比数列，∴

a2

a1

=

2a1+1

a1

=3，
∴a₁=1，
∴a_n=3^n-1；
又等差数列{b_n}满足b₄=a₂=3，且9b₂+a₃=9b₂+1×3²=0，
∴b₂=-1，b₄=b₂+2d=-1+2d=3，
∴公差d=2，
∴b_n=-1+（n-2）×2=2n-5．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

n(-3+2n-5)

2

=n²-4n；
（2）∵T_k+a_k=k²-4k+3^k-1=（k-2）²+3^k-1-4，
当k≥2时，g（k）=（k-2）²+3^k-1-4单调递增，
当k=2时，g（k）=-1∉（10，20）；
当k=3时，g（k）=6∉（10，20）；
当k=4时，g（k）=27∉（10，20）；
∴k≥2时，不存在k∈N^*，使得T_k+a_k∈（10，20）；
当k=1时，g（k）=-2∉（10，20）；
综上所述，所以不存在存在k∈N*，使得Tk+ak∈（10，20）．

点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查分析运算能力，属于难题．