Question

已知圆O的弦CD与直径AB垂直并交于点F，点E在CD上，且AE=CE．
（1）求证：CA²=CE•CD；
（2）已知CD=5，AE=3，求sin∠EAF．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）由⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，根据垂径定理，易证得∠C=∠D，又由AE=CE，根据等边对等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可证得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）求出DE，可得EF，在Rt△AFE中，求sin∠EAF．

解答： （1）证明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直径AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴

CA

CD

=

CE

CA

，
即CA²=CE•CD；
（2）解：∵CD=5，AE=CE=3，
∴DE=2，
∴EF=DF-DE=0.5，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=

0.5

3

=

1

6

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数的定义