Question

已知数列{a_n}满足：a_na_n-1+2a_n-a_n-1=0，（n≥2，n∈N），a₁=1，前n项和为S_n的数列{b_n}满足：b₁=1，b_n=

2an-anan-1

1-2anan-1

（n≥2，n∈N），又c_n=

Sn-1

bn

（n≥2，n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：2≤(1+

1

c2

)(1+

1

c3

)…(1+

1

cn

)＜

8

3

（n≥2，n∈N）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意a_na_n-1+2a_n-a_n-1=0，变形可得

1

an

=2×

1

an-1

+1⇒

1

an

+1=2(

1

an-1

+1)，即得数列{

1

an

+1}是等比数列，即可求得结论；
（2）由题意可得1+

1

cn

=1+

bn

Sn-1

=

Sn-1+bn

Sn-1

=

Sn

Sn-1

（n≥2，n∈N），故只需证2≤Sn＜

8

3

，故利用放缩法求得s_n的范围，即可得出结论．

解答： 解：（1）由条件得a_na_n-1+2a_n-a_n-1=0⇒a_n-1=2a_n+a_na_n-1，易知a_n≠0，两边同除以a_na_n-1得

1

an

=2×

1

an-1

+1⇒

1

an

+1=2(

1

an-1

+1)，
又

1

a1

+1=2，故

1

an

+1=2n⇒an=

1

2n-1

（n∈N^*），
（2）因为：1+

1

cn

=1+

bn

Sn-1

=

Sn-1+bn

Sn-1

=

Sn

Sn-1

（n≥2，n∈N），
所以(1+

1

c2

)(1+

1

c3

)…(1+

1

cn

)=

S2

S1

×

S3

S2

×…×

Sn-1

Sn-2

×

Sn

Sn-1

=

Sn

S1

=Sn，
故只需证2≤Sn＜

8

3

，
由条件bn=

2 2n-1 - 1 2n-1 × 1 2n-1-1

1-2× 1 2n-1 × 1 2n-1-1

=

2n-3

(2n-1)(2n-1-1)-2

＜

2n-1

(2n-1)(2n-1-1)

＜

2n

(2n-1)(2n-1-1)

=2(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)（n≥2，n∈N）
一方面：当n=2时S2=2＜

8

3

当n≥3，n∈N时，S_n=b₁+b₂+…+b_n≤1+1+2(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+2(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)=2+

2

3

-

1

2n-1

＜

8

3

，
另一方面：当n≥2，n∈N时，b_n＞0所以S_n=b₁+b₂+…+b_n≥1+1=2
所以当n≥2，n∈N时2≤(1+

1

c2

)(1+

1

c3

)…(1+

1

cn

)＜

8

3

．

点评：本题数列与不等式的综合性问题，主要考查学生对等比数列的定义及求和公式的掌握运用能力，考查学生的运算求解能力，逻辑性强，属于难题．