Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（

1

2

）^1-x，则
（1）f（x）的周期是2；         
（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；  
（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（

1

2

）^x-3
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，f（x+2）=f[（x+1）-1]=f（x），可判断（1）；
（2）利用x∈[0，1]时，f（x）=（

1

2

）^1-x=2^x-1，可判断f（x）在区间[0，1]上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断（2）；
（3）利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断（3）；
（4）当x∈（3，4）时，x-4∈（-1，0），4-x∈（0，1），从而可得f（4-x）=（

1

2

）^1-（4-x）=(

1

2

)x-3，又f（x）是周期为2的偶函数，可判断（4）．

解答： 解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f[（x+1）-1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；
（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（

1

2

）^1-x=2^x-1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）在区间[-1，0]上单调递减，又其周期T=2，
∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；
（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（

1

2

）^1-x=2^x-1为增函数，f（x）在区间[-1，0]上单调递减，且其周期为2可知，
f（x）_max=f（1）=2^1-1=2⁰=1，f（x）_min=f（0）=2^0-1=

1

2

，故（3）错误；
（4）当x∈（3，4）时，x-4∈（-1，0），4-x∈（0，1），
∴f（4-x）=（

1

2

）^1-（4-x）=(

1

2

)x-3，又f（x）是周期为2的偶函数，
∴f（4-x）=f（x）=(

1

2

)x-3，（4）正确．
综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题．