Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n，求证：

1

6

≤T_n＜

3

8

．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

，由此能求出a_n=4n+2．
（2）由a₁=6，d=4，得S_n=2n²+4n，

1

Sn

=

1

2n(n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，从而T_n=

1

4

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

＜

3

8

，由此能证明

1

6

≤T_n＜

3

8

．

解答： 解：（1）由题意得

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

，
解得a₁=6，d=4，
∴a_n=6+（n-1）×4=4n+2．

（2）∵a₁=6，d=4，
∴S_n=6n+

n(n-1)

2

×4=2n²+4n，

1

Sn

=

1

2n(n+2)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

4

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

4

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

＜

3

8

，
（T_n）_min=T₁=

3

8

-

2n+3

4(n+1)(n+2)

=

1

6

．
故

1

6

≤T_n＜

3

8

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．