Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），求证：f（x）为奇函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：利用赋值法，x=y=0求出f（0）的值，结合y=-x，利用已知条件，推出函数是奇函数即可．

解答： 证明：由x=y=0得f（0）+f（0）=f（

0+0

1+0

）=f（0），∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），则-x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f（

x-x

1-x2

）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x）．
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断与应用，赋值法是解题的关键．