Question

设函数f（x）=ax³-bx²，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为x+y-1=0
（1）求f（x）在[-

1

2

，

3

2

]上的最大值和最小值；
（2）设g（x）=4lnx-f（x），若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），当x₁＜x₂时，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≥k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出导数f′（x），根据导数几何意义得出f′（1）=-1，且f（1）=0，列方程组求解a，b．
令f′（x）=0得到极值点，计算出极值、函数在区间端点处的函数值进行大小比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值．
（2）由已知，可以构造函数h（x）=g（x）-kx在（0，+∞）上单调递增，所以h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

4

x

+2x²-2x≥k，只需k≤（

4

x

+2x²-2x）_min．再利用导数工具求最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-2bx，由题知，f′（1）=-1，且f（1）=0，即3a-2b=-1，且a-b=0，
解得a=b=-1．故f（x）=-x³+x²，f′（x）=-3x²+2x，由f′（x）=0得，x=0或x=

2

3

，
又f（-

1

2

）=

3

8

，f（

3

2

）=-

9

8

，f（0）=0，f（

2

3

）=

4

27

，可得最大值为

3

8

，最小值为-

9

8

．
（2）由（1）得g（x）=4lnx-f（x）=4lnx+x³-x²，g′（x）=

4

x

+2x²-2x，
当x₁＜x₂时，

g(x1)-g(x2)

x1-x2

≥k恒成立，即g（x₁）-kx₁≤g（x₂）-kx₂恒成立，
所以函数h（x）=g（x）-kx在（0，+∞）上单调递增，
所以h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

4

x

+2x²-2x≥k，
若设φ（x）=

4

x

+2x²-2x
则只需k≤φ（x）_min，φ′（x）=-

4

x2

+6x-2=

2(x-1)(3x2+2x+2)

x2

，φ′（x）=0，得x=1，x=1是φ（x）的极小值点也是最小值点，所以φ（x）_min=φ（1）=5，所以k≤5．

点评：本题考查函数的零点、利用导数求函数的极值、最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用导数知识解决问题的能力．