Question

已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±

3

4

x则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

  4

• B、

  5

  3

• C、

  5

  4

  或

  5

  3

• D、

  3

  5

  或

  4

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：

分析：当双曲线的焦点坐标在x轴上时，设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，由已知条件推导出

b

a

=

3

4

；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，由已知条件推导出

b

a

=

4

3

．由此利用分类讨论思想能求出该双曲线的离心率．

解答： 解：∵中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±

3

4

x，
∴双曲线的焦点坐标在x轴上或在y轴上，
①当双曲线的焦点坐标在x轴上时，
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
它的渐近线方程为y=±

b

a

x，∴

b

a

=

3

4

，
∴e=

1+ b2 a2

=

1+ 9 16

=

5

4

；
当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，
它的渐近线方程为y=±

a

b

x，∴

a

b

=

3

4

，∴

b

a

=

4

3

，
∴e=

1+ b2 a2

=

1+ 16 9

=

5

3

．
综上所述，该双曲线的离心率为

5

4

或

5

3

．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．