Question

设a＞0且a≠1，若函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[

1

2

，6]上是增函数，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：分当a＞1、当0＜a＜1两种情况，分别根据题意，利用复合函数的单调性、二次函数的性质，求得a的范围

解答： 解：当a＞1时，∵函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[

1

2

，6]上是增函数，
∴函数t=ax²-x=a(x-

1

2a

)2-

1

4a

 在区间[

1

2

，6]上是增函数，且t＞0，
∴

1 2a ≤ 1 2 a• 1 4 - 1 2 ＞0

，解得a＞2．
当0＜a＜1时，则函数t=ax²-x在区间[

1

2

，6]上是减函数，且t＞0，
∴

1 2a ≥6 a•36-6＞0

，解得a∈∅．
综上可得，a的范围为（2，+∞），
故答案为：（2，+∞）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．