Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线与直线x+3y-1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明：（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，得到f'（e），由f'（e）=3求得a的值；
（2）把f（x）的解析式代入k＜

f(x)

x-1

，构造函数g（x）=

f(x)

x-1

，求导后得到g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），由h（x）的导数大于0可知h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x=x₀，
再由h（3）＜0，h（4）＞0得到g（x）在x₀处取得最小值g（x₀）=x₀∈（3，4），由此得到k的最大值；
（3）结合（2）得到函数g(x)=

x+xlnx

x-1

是[4，+∞）上的增函数，把n，m代入函数式得到不等式，变形后由对数的运算性质证得结论．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+xlnx，
∴f'（x）=a+1+lnx
由f'（e）=3，得a+1+lne=3，解得a=1；
（2）解：由（1）得 f（x）=x+xlnx，
∴k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1恒成立，即k＜

x+xlnx

x-1

对任意x＞1恒成立，
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，
∴g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h′(x)=1-

1

x

，
由h′(x)=1-

1

x

＞0，得h（x）=x-lnx-2（x＞1）在（0，+∞）上单调递增，
h（3）=1-ln3＜0，h（4）=1-ln4＞0，
∴h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x=x₀，且x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，g'（x）＜0，
当x＞x₀时，h（x）＞0，g'（x）＞0．
∴函数g（x）在x=x₀处取得最小值，（g（x））_min=g（x₀）=x₀∈（3，4）．
故整数k的最大值为3；
（3）证明：由（2）得，g(x)=

x+xlnx

x-1

是[4，+∞）上的增函数，
∴当n＞m≥4时，有

n+nlnn

n-1

＞

m+mlnm

m-1

，
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，
ln（mnⁿ）^m＞ln（nm^m）ⁿ，
∴（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（2）的求解，构造函数后求解函数导函数的零点是不易想到的，属难度较大的题目．