Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2

3

asinB=5c，cosB=

11

14

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设BC边的中点为D，|AD|=

19

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得sinB的值，利用2

3

asinB=5c求得a和c的关系，进而利用正弦定理求得转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得sinA和cosA的关系，求得tanA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用余弦定理求得c，进而求得b，最后根据三角形面积公式求得答案．

解答： 解：（ I）在△ABC中，∵cosB=

11

14

，
∴sinB=

5 3

14

，
∵2

3

asinB=5c，
∴2

3

•a•

5 3

14

=5c
∴3a=7c，
∵

a

sinA

=

c

sinC

，
∴3sinA=7sinC，
∴3sinA=7sin（A+B），
∴3sinA=7sinAcosB+7cosAsinB，即3sinA=7•sinA•

11

14

+7cosA

5 3

14

∴-sinA=

3

cosA，
∴tanA=-

3

，即A=

2π

3

．
（Ⅱ）∵AB2+BD2-2AB•BDcosB=

19

4

，
又3a=7c，∴BD=

1

2

a=

7

6

c，
∴c2+(

7

6

c)2-2c•

7

6

c•

11

14

=

19

4

，
∴c=3，则a=7，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×3×7×

5 3

14

=

15 3

4

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．解题的关键就是利用正弦定理和余弦定理完成边角问题的转化．