Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且当x=

1

2

时，函数f（x）=

1

2

a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x取得极值．
（1）若b_n=2^n-1•a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）试证明：n＞3（n∈N^*）时，S_n＞

4n

n+1

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，由极值的定义，得f′（

1

2

）=0，得a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，由b_n=2^n-1•a_n，则b_n+1-b_n=1，由等差数列的通项公式即可得到；
（2）运用错位相减法求数列的和，注意解题步骤，运用等比数列求和公式即可得到；
（3）运用二项式定理，展开2ⁿ=（1+1）ⁿ，即可得证．

解答： （1）解：f′（x）=a_nx+2^-n-a_n+1，
由题意得f′（

1

2

）=0，得a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，
由a_n+1=

1

2

a_n+2^-n，得2ⁿa_n+1-2^n-1•a_n=1，
由b_n=2^n-1•a_n，则b_n+1-b_n=1，
则数列{b_n}的通项公式b_n=b₁+（n-1）×1=1+n-1=n；
（2）解：由（1）得，a_n=n•2^1-n，
则S_n=1•2^1-1+2×2^1-2+3×2^1-3+…+（n-1）×2^1-（n-1）+n•2^1-n，
2S_n=1×2+2×2^1-1+3×2^1-2+…+n•2^2-n，
两式相减得，S_n=1×2+1×2^1-1+1×2^1-2+1×2^1-3+…+1×2^1-（n-1）-n•2^1-n
=

2(1-2-n)

1-2-1

-n•2^1-n=4-

4+2n

2n

；
（3）证明：由S_n=4-

4+2n

2n

=4-

4+2n

(1+1)n

=4-

4+2n

1+n+ n(n-1) 2 +…+n+1

n＞3时，S_n＞4-

4+2n

1+n+ n(n-1) 2 +n

=4-

4+2n

(n+1)(n+2) 2

=4-

4

1+n

=

4n

n+1

．

点评：本题考查导数的运用：求极值，考查数列的通项公式的求法，注意构造数列，运用等差数列的通项公式和等比数列求和公式，考查错位相减求和，以及二项式定理用于证明不等式的方法，属于中档题和易错题．