Question

如图，△ABC是边长为2的正三角形．若AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面CDE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：根据面面垂直，线面垂直的判定定理从而进行证明．

解答： 证明：（Ⅰ）取BC的中点M，连接DM、AM，
因为BD=CD，且BD⊥CD，BC=2，
所以DM=1，DM⊥BC，AM⊥BC．
又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以DM⊥平面ABC，
所以AE∥DM，
又因为AE?平面BCD，DM?平面BCD，
所以AE∥平面BCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：AE∥DM，又AE=1，DM=1，
∴四边形DMAE 是平行四边形，
∴DE∥AM，
由（Ⅰ）已证AM⊥BC，又∵平面BCD⊥平面ABC，
∴AM⊥平面BCD，
∴DE⊥平面BCD，
又CD?平面BCD，∴DE⊥CD，
∵BD⊥CD，BD∩DE=D，
∴CD⊥平面BDE，∵CD?平面CDE，
∴平面BDE⊥平面CDE．

点评：本题考查了线面垂直，面面垂直的判定定理，是一道中档题．