Question

已知双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的左右顶点分别为A₁A₂，点P是双曲线上任一点，Q是P关于x轴的对称点，求直线A₁P与A₂Q交点M的轨迹E的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点p（x₀，y₀），为A₁（-3，0），A₂（3，0），直线A₁P方程是y=

y0

x+3

（x+3），①；线A₂Q的方程是y=

-y0

x0-3

（x-3），②；

x 2 0

9

-

y 2 0

16

=1，③
3个方程联合化简即可得出直线A₁P与A₂Q交点M的轨迹E的方程．

解答： 解：双曲线的左右顶点分别为A₁（-3，0），A₂（3，0），点p（x₀，y₀），
设M关于x轴对称点为Q（x₀，-y₀）
直线A₁P方程是y=

y0

x+3

（x+3），①
线A₂Q的方程是y=

-y0

x0-3

（x-3），②

x 2 0

9

-

y 2 0

16

=1，③
①×②得；y²=

-y02

x 2 0 -9

（x²-9）④
即x

2 0

=9（

y02

16

+1）⑤
把⑤代入③方程化简得交点P的轨迹E的方程：

x2

9

+

y2

16

=1，（x≠0，y≠0）

点评：本题综合考察了直线，双曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系，联合化简得出轨迹方程，运算仔细．