Question

14．已知函数f（x）=x²+ax+b，f（1）=0，f（2）=1
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）在区间[t，2t]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由代入法可得a，b的方程，解方程可得f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的对称轴，讨论区间[t，2t]（t＞0）与对称轴的关系，结合单调性即可得到所求最值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+ax+b，f（1）=0，f（2）=1
可得1+a+b=0，4+2a+b=1，
解得a=-2，b=1，
即f（x）=x²-2x+1；
（2）显然t＞0，由f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
对称轴为x=1，
当t≥1时，区间[t，2t]为增区间，
即有f（t）取得最小值，且为（t-1）²，
f（2t）取得最大值，且为（2t-1）²；
当2t≤1即0＜t≤$\frac{1}{2}$时，区间[t，2t]为减区间，
即有f（t）取得最大值，且为（t-1）²，
f（2t）取得最小值，且为（2t-1）²；
当$\frac{1}{2}$＜t≤$\frac{2}{3}$时，f（x）在[t，1]递减，[1，2t]递增，
即有f（1）为最小值0，f（t）最大，且为（t-1）²；
当$\frac{2}{3}$＜t＜1时，f（x）在[t，1]递减，[1，2t]递增，
即有f（1）为最小值0，f（2t）最大，且为（2t-1）²．

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，考查二次函数在闭区间上的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．