Question

5．已知点A（-2，0），B（4，0），圆C：（x+4）²+（y+b）²=16，点P是圆C上任意一点，若$\frac{PA}{PB}$为定值，则b=0．

Answer 1

分析 取点，计算$\frac{PA}{PB}$，利用$\frac{PA}{PB}$为定值，建立方程，即可求出b．

解答 解：取点（0，-b），可得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{\sqrt{4+{b}^{2}}}{\sqrt{16+{b}^{2}}}$
取点（-4，4-b），可得$\frac{PA}{PB}$=$\frac{\sqrt{4+（4-b）^{2}}}{\sqrt{64+（4-b）^{2}}}$，
∴$\frac{\sqrt{4+{b}^{2}}}{\sqrt{16+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{4+（4-b）^{2}}}{\sqrt{64+（4-b）^{2}}}$，
∴4b²+8b=0，
∴b=0或-2．
当b=-2时，设P（m，n），由PA=tPB，可得$\sqrt{（m+2）^{2}+{n}^{2}}$=t$\sqrt{（m-4）^{2}+{n}^{2}}$，
又（m+4）²+（n-2）²=16，化简整理，可得t无解．
故答案为：0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．