题目内容

2.已知0<θ<π,且sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$,求sinθ+cosθ,tanθ的值.

分析 把已知的等式两边平方,求出2sinθcosθ的值,结合0<θ<π求出θ为第一象限角,可得sinθ+cosθ的值,与已知等式联立求出sinθ、cosθ,则tanθ的值可求.

解答 解:由sinθ-cosθ=$\frac{1}{5}$,两边平方得,
$si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ-2sinθcosθ=\frac{1}{25}$,
∴2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$,又0<θ<π,
∴θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
则sinθ+cosθ=$\sqrt{(sinθ+cosθ)^{2}}=\sqrt{1+2sinθcosθ}$=$\sqrt{1+\frac{24}{25}}=\frac{7}{5}$;
联立$\left\{\begin{array}{l}{sinθ-cosθ=\frac{1}{5}}\\{sinθ+cosθ=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$,解得sinθ=$\frac{4}{5}$,cosθ=$\frac{3}{5}$.
∴tan$θ=\frac{sinθ}{cosθ}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}$.

点评 本题考查三角函数的化简与求值,考查了同角三角函数基本关系式的应用,注意分析角θ的范围是解答该题的关键,是基础题.

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