Question

设不共线的向量

α

，

β

，满足

α

•

β

=0，且有|

α

|=|

β

|=1，2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

||，求当|

γ

|最大时，|

α

-

γ

|的值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由满足

α

•

β

=0，可得

α

⊥

β

．又|

α

|=|

β

|=1，不妨设

α

=（1，0），

β

=（0，1）．由2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

|，利用向量夹角公式可得cos＜

α

-

γ

，

β

-

γ

＞=

1

2

．如图所示，设

OP

=

γ

．可知：点P在劣弧

BPA

上，且∠APB对于弦AB张开的角满足∠APB=60°．由图可知：当且仅当OP⊥AB时，|

γ

|取得最大值，此时△APB为等边三角形．即可得出．

解答： 解：由满足

α

•

β

=0，∴

α

⊥

β

．
又|

α

|=|

β

|=1，
不妨设

α

=（1，0），

β

=（0，1）．
由2（

α

-

γ

）•（

β

-

γ

）=|

α

-

γ

||

β

-

γ

|，
∴cos＜

α

-

γ

，

β

-

γ

＞=

( α - γ )•( β - γ )

| α - γ | | β - γ |

=

1

2

．
如图所示，
设

OP

=

γ

．
则点P在劣弧

BPA

上，且∠APB对于弦AB张开的角满足∠APB=60°．
由图可知：当且仅当OP⊥AB时，|

γ

|取得最大值，此时△APB为等边三角形．
此时|

α

-

γ

|=|

AP

|=|

AB

|=

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查了向量的夹角公式、向量的三角形法则、圆的性质、等边三角形的性质、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．