Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且

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，a_n，S_n成等差数列，
（1）求数列{a_n}的通项公式；  
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得到Sn=2an-

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，从而推导出{a_n}是以

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为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）b_n=log₂a_n=n-7，由此利用分类讨论思想能求出数列{|b_n|}的前n项和．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，
首项为a₁，且

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，a_n，S_n成等差数列，
∴2an=

1

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+Sn，即Sn=2an-

1

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，①
n=1时，a1=S1=2a1-

1

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，解得a1=

1

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．
n≥2时，Sn-1=2an-1-

1

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，②
①-②，得：a_n=2a_n-2a_n-1，
∴

an

an-1

=2，
∴{a_n}是以

1

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为首项，2为公比的等比数列，
∴an=

1

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•2n-1=2^n-7．
（2）b_n=log₂a_n=log22n-7=n-7，
∴n≤7时，数列{|b_n|}是以6为首项，-1为公差的等比数列，
其前n项和T_n=6n+

n(n-1)

2

×(-1)=

13n-n2

2

．
当n＞7时，
数列{|b_n|}的前n项和：
T_n=-6n+

n(n-1)

2

×1-2（-7-6-5-4-3-2-1）
=

n2

2

-

13

2

n+56．
∴T_n=

13n-n2 2 ，n≤7 n2 2 - 13 2 n+56，n＞7

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．