Question

数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an

λn

，其中λ＞0，若{b_n}为递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先利用递推关系式，整理构造新数列，利用新数列的特点求出通项．
（2）结合（1）的结论，和数列的递减性，所以b_n+1-b_n＜0，进一步利用恒成立问题求出结果．

解答： 解：（1）数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-4n，①
则：S_n-1=2a_n-1-4（n-1）（n≥2），②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-4，
整理得：a_n=2a_n-1+4，
恒等变换得：a_n+4=2（a_n-1+4），

an+4

an-1+4

=2（常数），
则：{a_n+4}是以（a₁+4）为首项，2为公比的等比数列．
an+4=(a1+4)2n-1，
当n=1时，代入①解得：a₁=4，
an+4=(4+4)2n-1=2n+2，
则：an=2n+2-4．
（2）bn=

an

λn

，由（1）得：bn=

2n+2-4

λn

，
由于若{b_n}为递减数列，
所以：b_n+1-b_n＜0，
即：

2n+3-4

λn+1

-

2n+2-4

λn

＜0，
∵λ＞0，
∴整理得：λ＞

2n+3-4

2n+2-4

，
要使上式恒成立只需满足：λ＞(

2n+3-4

2n+2-4

)max即可．
当n=1时，解得：λ＞3．

点评：本题考查的知识要点：构造新数列求通项公式，利用递减数列求参数的范围，恒成立问题的应用．