Question

已知函数f（x）=ax²+bx，g（x）=lnx．
（1）当a=1，b=2时，求函数y=f （x）-g （x）的图象在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）若2a=1-b（b＞1），讨论函数y=f （x）-g （x）的单调性；
（3）若对任意的b∈[-2，-1]，均存在x∈（1，e）使得f （x）＜g （x），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线方程；
（2）求出函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可；
（3）根据条件分别求出两个函数的最值进行比较即可．

解答： （1）解：令F（x）=f（x）-g（x）=ax²+bx-lnx，
则F′(x)=2ax+b-

1

x

（1分）
当a=1，b=2时，F'（1）=2a+b-1=3，F（1）=a+b=3（2分）
∴函数y=f （x）-g （x）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为y-3=3（x-1），
即3x-y=0（3分）
（2）解：F′(x)=(1-b)x+b-

1

x

=

(1-b)x2+bx-1

x

=-

[(b-1)x-1](x-1)

x

(x＞0)（5分）
当

1

b-1

＜1，即b＞2时，F（x）的增区间为(

1

b-1

，1)，减区间为(0，

1

b-1

)，(1，+∞)（6分）
当

1

b-1

=1，即b=2时，F（x）在（0，+∞）单调递减（7分）
当

1

b-1

＞1，即b＜2时，F（x）的增区间为(1，

1

b-1

)，减区间为（0，1），(

1

b-1

，+∞)（8分）
（3）解：依题意，?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e）使得f （x）＜g （x）成立
即?b∈[-2，-1]，?x∈（1，e），F（x）＜0成立（9分）
即?b∈[-2，-1]，a＜

lnx-bx

x2

在（1，e）内有解，a＜(

lnx-bx

x2

)max（10分）
令G(x)=

lnx-bx

x2

，则G′(x)=

bx+1-2lnx

x3

（11分）
∵b∈[-2，-1]，x∈（1，e），
∴-2x+1≤bx+1≤-x+1＜0，-2ln x＜0
因此G'（x）＜0，∴G（x）在（1，e）内单调递减（12分）
又G（1）=-b，∴G（x）_max=-b∈[1，2]（13分）
∴a≤1，即实数a的取值范围是（-∞，1]．（14分）

点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握，导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．