Question

已知向量

a

=（2，sinθ）与

b

=（1，cosθ）互相平行，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=

10

10

，0＜φ＜

π

2

，求cosφ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）运用向量共线的坐标表示和同角的平方关系，解方程即可得到；
（2）运用角的变换φ=θ-（θ-φ）和两角差的余弦公式，计算即可得到．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（2，sinθ）与

b

=（1，cosθ）互相平行，
∴sinθ=2cosθ，由sin²θ+cos²θ=1，
由θ∈（0，

π

2

），则sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

；
（2）∵sin（θ-φ）=

10

10

，0＜φ＜

π

2

，
又θ∈（0，

π

2

），则-

π

2

＜θ-φ＜

π

2

，
则cos（θ-φ）=

1-sin2(θ-φ)

=

1- 1 10

=

3 10

10

，
则有cosφ=cos[θ-（θ-φ）]=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）
=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

．

点评：本题考查平面向量的共线的坐标表示，考查同角的平方关系和两角差的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．