Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，且满足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得数列{2S_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而S_n=

2n-1

2

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵a₁=

1

2

，且满足2S_n+1=4S_n+1（n∈N^*），
∴2S_n+1+1=4S_n+2，

2Sn+1+1

2Sn+1

=2，为定值．
2S₁+1=2a₁+1=2，
∴数列{2S_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
2S_n+1=2ⁿ，
S_n=

2n-1

2

，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2n-1

2

-

2n-1-1

2

=2^n-2，
n=1时，a₁=2^1-2=

1

2

满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-2．
故答案为：a_n=2^n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．