Question

已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴的一个端点到上焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（-1，0）作直线l与椭圆C相较于A，B两点，直线m是过点(-

4

17

，0)且与y轴平行的直线，设N是直线m上的一动点，满足

ON

=

OA

+

OB

（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴的一个端点到上焦点的距离为2，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（2）设出直线l的方程，y=k（x+2）代入椭圆方程，根据根的判别式，x₁+x₂=-

4k2

4+k2

=-

4

17

，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，短轴的一个端点到上焦点的距离为2，
∴

c a = 3 2 a2=b2+c2=4

，∴a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为

y2

4

+x2=1；
（2）由已知可得m：x=-

4

17

，
设N（-

4

17

，t），直线l：y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l：y=k（x+2）代入椭圆方程，可得（4+k²）x²+4k²x+4k²-4=0，
△＞0，可得-

2 2

3

＜k＜

2 2

3

，
x₁+x₂=-

4k2

4+k2

=-

4

17

，
∴k=±

1

2

，
此时

OA

•

OB

=0，
∴存在这样的直线l：y=±

1

2

（x+2），使得四边形OANB为矩形．

点评：本题考查圆锥曲线的综合运用以及轨迹方程的应用，通过对圆锥曲线知识的综合运用，考查学生的能力，属于中档题．