Question

函数f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ），（|θ|＜

π

2

）的图象关于点(

π

6

，0)对称，则f（x）的增区间（　　）

• A、[

  π

  3

  +kπ，

  5π

  6

  +kπ]，k∈Z
• B、[-

  π

  6

  +kπ，

  π

  3

  +kπ]，k∈Z
• C、[-

  π

  12

  +kπ，

  5π

  12

  +kπ]，k∈Z
• D、[-

  7π

  12

  +kπ，-

  π

  12

  +kπ]，k∈Z

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点(

π

6

，0)对称，求出θ的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．

解答： 解：f（x）=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ），
=2sin（2x+θ+

π

3

），
∵图象关于点(

π

6

，0)对称，
∴2×

π

6

+θ+

π

3

=kπ，（k∈Z）
∴θ=kπ-

2π

3

，（k∈Z），
∵|θ|＜

π

2

，
∴θ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（2x+

2π

3

）；
由-

π

2

+2kπ≤2x+

2π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

7π

12

+kπ≤x≤-

π

12

+kπ（k∈Z）
∴函数f（x）的增区间为[-

7π

12

+kπ，-

π

12

+kπ]k∈Z．
故选D．

点评：本题考查了三角函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把三角函数式化成标准形式，在求θ值时要注意其范围．