Question

如图为喜宴中的一个形如正三棱锥的四层香槟台，搭建香槟塔时，先用10个香槟杯搭出一个等边三角形形状作为底层，然后三个香槟杯上叠一个香槟杯，向上搭建．若由上而下，把每一层的香槟杯数量组成数列{a_n}．
（1）观察图中的变化规律，若如上方式搭建一个n层的香槟台，则最底层香槟杯数量a_n应为多少？
（2）记b_n=2 

2an

n+1

，求b₁，b₂，b₃；
（3）判断数列{b_n}是什么数列？并求b₁+b₂+b₃+…+b₁₀的值．

Answer 1

考点：数列的求和,归纳推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得a_n=a_n-1+n，利用累加法即可求得通项公式；
（2）由（1）可得b_n=2ⁿ，即可求得结论；
（3）由b_n=2ⁿ，可知数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即可求得前10项的和．

解答： 解：（1）由题意可知，香槟杯数量从上向下依次为1，3，6.10，15，…，
∴a_n=a_n-1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴a_n=

n(n+1)

2

；
（2）由（1）可得b_n=2 

2an

n+1

=2ⁿ，
∴b₁=2，b₂=4，b₃=8；
（3）由（2）可得b_n=2ⁿ，
∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₁₀=

2(1-210)

1-2

=2¹¹-2=2046．

点评：本题主要考查学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力，考查累加法求数列的通项公式及等比数列的有关性质，属于中档题．