Question

1．如图，点P是菱形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，PA∥FB∥ED，∠ABC=60°，PA=AB=2BF=2DE．
（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PCE；
（Ⅱ）求二面角B-PC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC中点M，连BD交AC于O，连OM，EM．证明OD⊥AC，OD⊥PA，推出OD⊥平面PAC，说明EM⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面PCE．
（Ⅱ）以OB，OC，OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=AB=2BF=2DE=2，求出相关点的坐标，平面BPC的一个法向量，平面FPC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取PC中点M，连BD交AC于O，连OM，EM．
在菱形ABCD中，OD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，OD?平面ABCD，
∴OD⊥PA，
又PA∩AC=A，PA，AC?平面PAC，
∴OD⊥平面PAC，
∵O，M分别是AC，PC的中点，
∴OM∥PA，$OM=\frac{1}{2}PA$，
又DE∥PA，$DE=\frac{1}{2}PA$，
∴OM∥DE，OM=DE，
∴四边形OMED是平行四边形，则OD∥EM，
∴EM⊥平面PAC，
又EM?平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCE．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得EM⊥平面PAC，则OB，OC，OM两两垂直，以OB，OC，OM所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设PA=AB=2BF=2DE=2，则$B（\sqrt{3}，0，0）$，C（0，1，0），P（0，-1，2），$F（\sqrt{3}，0，1）$，$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，1，-2）$，$\overrightarrow{PF}=（\sqrt{3}，1，-1）$，
设$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$是平面BPC的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PC}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{x_1}+{y_1}-2{z_1}=0\\ 2{y_1}-2{z_1}=0\end{array}\right.$
取${x_1}=\sqrt{3}$，得y₁=3，z₁=3，∴$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，3，3）$，
设$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$是平面FPC的一个法向量，
同理得，$\overrightarrow{n_2}=（0，1，1）$．
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{0+3+3}{{\sqrt{21}×2}}=\frac{{\sqrt{42}}}{7}$，
∴二面角B-PC-F的余弦值为$\frac{{\sqrt{42}}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直平面与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．