Question

已知函数，.
(Ⅰ)若，求函数在区间上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范围. （注：是自然对数的底数）

Answer 1

(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范围是.

试题分析：(Ⅰ) 讨论去掉绝对值，利用导数求得最值； (Ⅱ) 对分，讨论：当时，，恒成立，所以；当时，对讨论去掉绝对值，分离出通过求函数的最值求得的范围.
试题解析：(1) 若，则.当时，，
， 所以函数在上单调递增；
当时，，.
所以函数在区间上单调递减，所以在区间[1,e]上有最小值，又因为，
，而，所以在区间上有最大值.
(2)函数的定义域为． 由，得．           （*）
（ⅰ）当时，，，不等式（*）恒成立，所以；
（ⅱ）当时，
①当时，由得，即，
现令， 则，因为，所以，故在上单调递增，
从而的最小值为，因为恒成立等价于，所以；
②当时，的最小值为，而，显然不满足题意.
综上可得，满足条件的的取值范围是.