Question

设函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）在处的切线方程为；（2）函数的单调增区间为;单调减区间为；（3）.

试题分析：（1）首先求函数的定义域，利用导数的几何意义求得在处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程求得在处的切线方程；（2）分别解不等式可得函数的单调递增区间、单调递减区间；（3）由已知“对于[1，2]，使≥成立”在上的最小值不大于在上的最小值，先分别求函数，的最小值，最后解不等式得实数的取值范围．
试题解析：函数的定义域为，                      1分
    　                            2分
（1）当时，，，       3分
，
，                                           4分
在处的切线方程为.                    5分
(2).                 
当,或时, ;                             6分
当时, .                                        7分
当时，函数的单调增区间为;单调减区间为.   8分
(如果把单调减区间写为,该步骤不得分)
（3）当时，由（2）可知函数在上为增函数，
∴函数在[1，2]上的最小值为                9分
若对于[1，2]，使≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                        10分
又，
当时，在上为增函数，
与（*）矛盾                     11分
当时，，由及
得，                                            12分
③当时，在上为减函数，
及得.                                           13分
综上，的取值范围是                              14分