Question

已知函数，，且在点（1，）处的切线方程为。
（1）求的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）设函数，若方程有且仅有四个解，求实数a的取值范围。

Answer 1

（1）；（2）当，则，无解，即无单调增区间，当，则，即的单调递增区间为，当，则，即的单调递增区间为；（3） 

试题分析：(1) 利用导数的几何意义：曲线在某点处的导数值等于该点处曲线切线的斜率，联立方程组求解； (2)求导，利用倒数分析单调性，注意一元二次不等式根的情形；（3）通过导数对函数单调性分析，结合图像分析零点的问题
试题解析：（1），由条件，得
，即，                      4分
（2）由，其定义域为，
，
令，得（*）                                6分
①若，则，即的单调递增区间为；         7分   
②若，（*）式等价于，
当，则，无解，即无单调增区间，
当，则，即的单调递增区间为，
当，则，即的单调递增区间为                  10分
（3）
当时，，，
令，得，且当，
在上有极小值，即最小值为                      11分
当时，，，
令，得，
①若，方程不可能有四个解；                12分
②若时，当，当，
在上有极小值，即最小值为，
又，的图象如图1所示，

从图象可以看出方程不可能有四个解          14分
③若时，当，当，
在上有极大值，即最大值为，
又，的图象如图2所示，

从图象可以看出方程若有四个解，
必须， 
综上所述，满足条件的实数的取值范围是                      16分