Question

已知函数f（x）=log_a（1-a^x），其中a＞0，a≠1．
（1）求反函数f^-1（x）及其定义域；
（2）解关于x的不等式log_a（1-ax）＞f^-1（1）．

Answer 1

考点：反函数,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得a^x=1-a^y，从而x=loga(1-ay)，由此能求出反函数f^-1（x）=log_a（1-a^x），a＞0，a≠1．
当0＜a＜1时，1-a^x＞0，则x＞0即定义域为（0，+∞）；当a＞1时，1-a^x＞0，则x＜0，则定义域为（-∞，0）．
（2）由已知得log_a（1-ax）＞f^-1（1）=log_a（1-a），当0＜a＜1时，解得x∈（0，1）；当a＞1时，解得x∈（-∞，0）．

解答： 解：（1）∵f（x）=y=log_a（1-a^x），其中a＞0，a≠1，
∴a^y=1-a^x，
∴a^x=1-a^y，
x=loga(1-ay)，
x，y互换，得反函数f^-1（x）=log_a（1-a^x），a＞0，a≠1．
当0＜a＜1时，1-a^x＞0，则x＞0即定义域为（0，+∞）；
当a＞1时，1-a^x＞0，则x＜0，则定义域为（-∞，0）；
（2）∵f^-1（1）=log_a（1-a），
∴log_a（1-ax）＞f^-1（1）=log_a（1-a），
当0＜a＜1时，1-a^x＜1-a，
解得x∈（0，1）；
当a＞1时，1-a^x＞1-a，
解得x∈（-∞，0）．

点评：本题考查函数的反函数及其定义域的求法，考查关于x的不等式的解法，解题时要认真审题，是中档题．